В 15 лет Платонов был принят учеником в мастерские ГЦТК, где дневал и ночевал. Начинал как подсобный рабочий. Через три года стал бутафором. Окончив вечернее отделение МТХТУ (бутафорский факультет, кукольное отделение, педагог В. Флиорин, 1972), ушёл в армию. Отслужив, вернулся в театр. Его дар художника-постановщика проявился спонтанно в процессе плотных контактов со студентами, будущими актёрами-кукольниками Гнесинского музыкального училища. Участвовал вместе с В. Конюховой в работе над спектаклем «Дон Жуан», сделав механику куклы главного героя.

Работать профессионально он начал как главный художник (1978 - 1983) ансамбля «Люди и куклы» п/р Л. Хаита, возникшего на основе курса актёров-кукольников в Гнесинском училище. Художественным руководителем курса был С. Образцов. Ансамбль работал при Кемеровской филармонии.

Четыре года проработал в Санкт-Петербурге. Преподавал «Технологию театральных кукол» в Интерстудио (филиал ЛГИТМИКа-СПбГАТИ), сотрудничал с режиссёром М. Хусидом. Вместе с Резо Габриадзе  поставил «Песню о Волге» в петербургском театре Сатиры на Васильевском острове и получил «Золотую Маску» за роль, сыгранную в этом спектакле.

В разные годы Платонов был главным художником Оренбургского и Ижевского театров кукол, московского Театра-студии «Человек» (его спектакль «Стриптиз» держался в репертуаре более 20 лет).  Сотрудничал, помимо кукольных, с драматическими театрами – Московским театром кукол («Каштанка и слон» и др.), Театром им. Пушкина («Академия смеха», «Сон в шалую ночь», «Вий», «Offис», «Трое на качелях» и другие), им. Моссовета («Долгая дорога в ночь» и «Крошка Цахес»).

В ГАЦТК вернулся спустя 30 лет, уже заслуженным художником РФ. Здесь он оформил три спектакля – гротескно-масочную «Свадебку» по А. Чехову (режиссёр Е. Ибрагимов, 2011), «Большое путешествие: драконы, демоны, герои» (режиссёр Е. Образцова, 2014), спектакль «Али-Баба и сорок разбойников» (режиссёр Б. Константинов, 2014).

Проводит лаборатории молодых художников и конструкторов кукол совместно с СТД РФ.

С 2015 года — главный художник Московского детского театра теней.

С 2019 года — художественный руководитель Московского детского театра теней.